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极限怎么求，大一高数极限经典例题( 二 )

小知识


参考资料：

函数的极限怎么求？ 新年好！Happy Chinese New Year ！
1、计算函数的极限 ， 有很多方法 ， 但是常见的方法 ， 只有下面十种；
2、这十种方法 ， 可以应付到读完研究生；
3、下面的图片提供这十种方法 ， 并附有例题 ， 每张图片均可点击放大 。

求极限的所有方法 ， 要求详细点 一、利用极限四则运算法则求极限函数极限的四则运算法则：设有函数 ， 若在自变量f（x） ， g（x）的同一变化过程中 ， 有limf（x）=A ， limg（x）=B ， 则 lim［f（x）±g（x）］=limf（x）±limg（x）=A±B lim［f（x）?g（x）］=limf（x）?limg（x）=A?B lim==（B≠0）（类似的有数列极限四则运算法则）现以讨论函数为例 。 对于和、差、积、商形式的函数求极限 ， 自然会想到极限四则运算法则 ， 但使用这些法则 ， 往往要根据具体的函数特点 ， 先对函数做某些恒等变形或化简 ， 再使用极限的四则运算法则 。 方法有： 1.直接代入法对于初等函数f（x）的极限f（x） ， 若f（x）在x点处的函数值f（x）存在 ， 则f（x）=f（x） 。 直接代入法的本质就是只要将x=x代入函数表达式 ， 若有意义 ， 其极限就是该函数值 。 2.无穷大与无穷小的转换法在相同的变化过程中 ， 若变量不取零值 ， 则变量为无穷大量?圳它的倒数为无穷小量 。 对于某些特殊极限可运用无穷大与无穷小的互为倒数关系解决 。 （1）当分母的极限是“0” ， 而分子的极限不是“0”时 ， 不能直接用极限的商的运算法则 ， 而应利用无穷大与无穷小的互为倒数的关系 ， 先求其的极限 ， 从而得出f（x）的极限 。 （2）当分母的极限为∞ ， 分子是常量时 ， 则f（x）极限为0 。 3.除以适当无穷大法对于极限是“”型 ， 不能直接用极限的商的运算法则 ， 必须先将分母和分子同时除以一个适当的无穷大量x 。 4.有理化法适用于带根式的极限 。 二、利用夹逼准则求极限函数极限的夹逼定理：设函数f（x） ， g（x） ， h（x） ， 在x的某一去心邻域内（或|x|＞N）有定义 ， 若①f（x）≤g（x）≤h（x）；②f（x）=h（x）=A（或f（x）=h（x）=A） ， 则g（x）（或g（x））存在 ， 且g（x）=A（或g（x）=A） 。 （类似的可以得数列极限的夹逼定理）利用夹逼准则关键在于选用合适的不等式 。 三、利用单调有界准则求极限单调有界准则：单调有界数列必有极限 。 首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性 ， 再求解方程 ， 可求出极限 。 四、利用等价无穷小代换求极限常见等价无穷小量的例子有：当x→0时 ， sinx～x；tanx～x；1-cosx～x；e-1～x；ln（1+x）～x；arcsinx～x；arctanx～x；（1+x）-1～x 。 等价无穷小的代换定理：设α（x） ， α′（x） ， β（x）和β′（x）都是自变量x在同一变化过程中的无穷小 ， 且α（x）～α′（x） ， β（x）～β′（x） ， lim存在 ， 则lim=lim 。 五、利用无穷小量性质求极限在无穷小量性质中 ， 特别是利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量的性质求极限 。 六、利用两个重要极限求极限使用两个重要极限=1和（1+)=e求极限时 ， 关键在于对所给的函数或数列作适当的变形 ， 使之具有相应的形式 ， 有时也可通过变量替换使问题简化 。 七、利用洛必达法则求极限如果当x→a（或x→∞）时 ， 两个函数f（x）与g（x）都趋于零或趋于无穷小 ， 则可能存在 ， 也可能不存在 ， 通常将这类极限分别称为“”型或“”型未定式 ， 对于该类极限一般不能运用极限运算法则 ， 但可以利用洛必达法则求极限 。

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