这个问题真是不特别简单,首先,我们出个题啊,要是魔方顶面4个角位置可以标号1、2、3,就像上面一样可以标成是(1113)(1233)等等,去除旋转后相同的情况,共有多少种标法?
如果不去除旋转相同,那么4个角就是可以区分的,这个答案很简单就是3^4=81种情况,对吧,但是如果去除旋转相同,就 比较复杂了,比如1113和3111是同一种标法,只是魔方顶面转了90度而已,你可以自己先想想这个题 。
这是个组合数学的经典问题,叫做Necklace problem(就是用几种颜色的珠子穿项链),或者叫做polya定理,如果有兴趣也可以到这里看看,不过我还是推荐你先自己想一下,这里面的公式会一下子让你很faint,如果你对“欧拉数”之类的概念不熟或根本没听说过的话 。
我们这种情况不用mathworld里面的那个公式,枚举法就可以啦:)不过要想的周密一点,答案是24种,我验算了和那个恐怖公式给出的答案一样 。 而在这24种里,4个数字的"和"被3除的余数,应该是平均分配给0,1,2吧,这个我没有证明,呵呵,这样被3整除的应该就有8个了吧 。 就是 对好+这7种:
现在我们开始说算法了,对于第一种情况,我们应该把顶面已经是绿色那个角放在最上面(也就是"左后角"),这时你不用关心下面两层 的哪面朝前,魔方
应用下面算法,这个算法的作用就是保持最上面角(左后角)的朝向不变,同时把下面三个角的绿色翻上去 。
算法1:
R' U' R U'
R' U'2 R
对于第二种情况,我们应该发现他就是一情况的对角线镜像是吧,所以上面算法去做对角线镜像就得到了情况二的算法:魔方
算法2:
F U F' U
F U2 F'
对于3-7情况:
你有2/3的概率碰到他们,其实你完全可以自己用1,2算法试试翻这么几次,看看会发生什么,慢慢就找到规律了 。 3-7情况都是用1,2算法的组合解决,最多用2个算法 。 魔方
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(第六步)调整四角顺序,使之形成:(您也可以看看 第六步的视频讲解)
这步很简单,首先转转顶面看看是不是已经对好(概率1/6),如果不是就首先找一条边,这条边的两个角有相同的颜色(概率2/3),像以下这些例子,另有1/6的概率你找不到这样的一条边,我们一会儿再说 。 魔方
两角中间的棱颜色和下面两层的颜色我们不用关心 。 现在把这条边放在背面,以上表最后一个为例,变成,
正面 背面
然后应用下面算法,
L F' L B2
L' F L B2 L2
如果应用完算法 ,四个角还没有和下面两层的颜色吻合,转转就可以了 。 这步本质上的作用就是交换了前面两个角的位置 。 或者说做了这样的一个逆时针旋转,这两个作用在顶面旋转过后是等效的 。 魔方
(第二种情况)找不到有两角同色的边
如果你碰到的情况找不到这样一条有两角同色的边,你就闭着眼睛应用一遍上面的算法,就一定可以找到啦,如果你感兴趣这是为什么,可以看看这页 。 这种情况其实是你需要交换一个对角线上的两个角 。
另外,你也可以试试这个算法的左右镜像,使用方法一样,效果也一样 。
(第七步)将最后的棱色块顺序排列好 (您也可以看看 第七步的视频讲解)
最后一步啦,大家是不是都很兴奋啊,好不容易啊,胜利就在前方了 。 最后一步很简单,你只要看准魔方的方向就行啦 。 魔方
第一种情况,你想让3个棱逆时针旋转 。 (概率1/3)
首先你要把已经对好颜色的那条边放在前面 。
再用第五步的算法1+U2+算法2+U2 就行啦 。 也就是
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